حدسية بوانكاريه المستحيلة، تعتبر حدسية بوانكاريه من أهم المشكلات الرياضية التي بقيت لفترة طويلة ولم يتمكن أحد من حلها، وهي إحدى مشاكل الألفية التي قدمها معهد كلاي للرياضيات، تبرع بهذه الجائزة رجل الأعمال الأمريكي ومؤسس المعهد (ليندون كلاي)، تعتبر الطوبولوجيا أو علم التراكيب الهندسية من أهم فروع الرياضيات، يهتم هذا العلم بدراسة الخصائص المختلفة للأشكال عندما تخضع لتغيرات مستمرة لا تغير محتواها، ولكن هذه التغييرات تعيد تشكيلها. يسارًا أو يمينًا، لكن مكونات الحبل الداخلي أو طوله لن يتغير.
طوبولوجيا
إذا قلنا أن هناك جسدين متساويين طوبولوجيًا ، فهذا يعني أننا إذا شكلنا الجسم الأول بطريقة معينة ، فسنحصل على الجسم الثاني ، وإذا أحضرنا قطعة من الطين ، وقمنا بتشكيلها في الشكل من كوب الماء ، هذه العملية تسمى التكوين الطوبولوجي ، وهناك العديد من الأمثلة على الأجسام الطوبولوجية ، على سبيل المثال ، الدائرة والخط المستقيم هما كائنان طوبولوجيان يتكونان من بعد واحد ، ودائرة ومربع لهما بعدين ، و الكرة والمكعب لهما ثلاثة أبعاد.
يهتم الباحث في الطوبولوجيا بدراسة الخصائص الطوبولوجية لكائنات مختلفة عند تحويلها من شكل رياضي محدد إلى آخر.
حدسية بوانكاريه
بدأت قصة بوانكاريه في عام 1904 ، عندما قدمها عالم رياضيات يُدعى والد الطوبولوجيا الفرنسية هنري بوانكاريه.
لفهم معضلة هذا التخمين ، سنطرح السؤال التالي ، هل من الممكن استنتاج كروية الأرض عن طريق وضع نقطة معينة على سطح الأرض والمضي قدمًا منها للسير بشكل مستقيم ومستمر حتى نتحرك. نصل إلى نفس النقطة التي بدأنا منها ، إذا قلنا أن الأرض ، على سبيل المثال ، هي في شكل كعكة دونات أي أنها دائرية ودائرة مفرغة في المنتصف ، سنصل إلى نفس النقطة التي بدأنا منها. أيضا.
إذا أحضرنا حبلًا طويلًا جدًا معنا أثناء الدوران حول الأرض ، وبينما نستمر في المشي ، نمد الحبل معًا حتى نصل إلى نقطة البداية نفسها ونربط طرفي الحبل ببعضهما البعض ، أي ، لقد قمنا بتدوير الحبل حول الكوكب ، والآن إذا شدنا الحبل باستمرار ، فقد تمكنا من سحب الحبل بالكامل وجمعه مرة أخرى عند النقطة التي نقف فيها ، مما يعني أننا نقف على جسم كروي.
إذا كنا نقف على جسم على شكل كعكة دائرية ، فلن يتراجع الحبل أبدًا ، لذلك علينا أن ننتبه إلى شيء أن سطح الكرة نفسها عبارة عن سطح ثنائي الأبعاد ، ولكن الآن إذا كان الفضاء مكونًا من أربعة أبعاد مكانية أو إذا كان سطح الكرة ثلاثي الأبعاد ، فكيف يمكننا أن نتأكد من أنه يمكننا تجميع الحبل معًا بنفس الطريقة ، فمن الصحيح أنه من الصعب تخيل أشكال في فضاءات ذات أبعاد (n) ، لكن Poincaré’s يخبرنا الحدس أن هذه النتيجة صحيحة.
عندما يقتنع العالم بصحة فرضية
لكنه لا يستطيع إثباتها ، فإنه ينشرها كتخمين ، ويترك مجالًا لبقية العلماء ، ربما يمكنهم إثبات صحتها أو خطأها. وبالفعل قام العالم فريدمان عام 1982 بحل هذا اللغز في البعد الرابع ، وقام العالم زيمان عام 1961 بحلها في البعد الخامس ، وحلها ستالينج عام 1962 في البعد السادس ، وحلها سمال عام 1961 في البعد السابع. .
ختاما بقي فقط لحل التخمين في البعد الثالث، وظل البعد الثالث غير قادر على حلها، حتى حلها أحد العلماء في عام 2002، عالم الرياضيات الروسي، العالم غريغوري بيرلمان.